Докажите что число √2+√2+√2+√2+√2 иррациональное

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Предположим, что число √2+√2+√2+√2+√2 равно рациональному числу q.

Тогда можно записать:

√2+√2+√2+√2+√2 = q

Упростим выражение:

5√2 = q

Теперь предположим, что q — число рациональное, и можно записать в виде a/b, где a и b — целые числа без общих делителей.

Тогда мы получим:

5√2 = a/b

√2 = a/(5b)

2 = a^2 / (25b^2)

a^2 = 2 * 25b^2

a^2 = 50b^2

Из этого уравнения следует, что a^2 — четное число, а значит, a тоже четное число. Пусть a = 2c, где c — целое число.

Тогда:

4c^2 = 50b^2

2c^2 = 25b^2

Это уравнение означает, что b^2 должен быть четным числом, что противоречит предположению, что a/b — несократимая дробь.

Следовательно, наше исходное предположение о том, что число √2+√2+√2+√2+√2 является рациональным, неверно, и это число действительно является иррациональным.