Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии равна 3/4 а сумма кубов ее членов равна 27/208. Найдите сумму квадратов членов прогрессии

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть первый член прогрессии равен а, а знаменатель прогрессии равен q.
Тогда сумма всех членов прогрессии равна a/(1-q)
Сумма кубов членов будет равна a^3/(1-q^3)

Из условия задачи:
a/(1-q) = 3/4
a^3/(1-q^3) = 27/208

Преобразуем первое уравнение:
4a = 3(1-q)
4a = 3 - 3q
4a + 3q = 3

Также преобразуем второе уравнение:
208a^3 = 27(1-q^3)
208a^3 = 27 - 27q^3
208a^3 + 27q^3 = 27

Теперь найдем сумму квадратов членов прогрессии:
Сумма квадратов членов прогрессии равна а^2/(1-q^2)
Мы можем представить ее следующим образом:
a^2/(1-q^2) = (a/(1-q))(a/(1+q)) = (3/4)(a/(1+q)) = (3/4)(a + aq/(1 + q))

Теперь найдем aq/(1 + q) сначала из первого уравнения:
a/(1-q) = 3/4
4a = 3(1-q)
4a = 3 - 3q
3q = 3 - 4a
aq = a(3 - 4a)
aq = 3a - 4a^2

Теперь найдем aq/(1 + q) из преобразованного первого уравнения:
4a + 3q = 3
4a = 3 - 3q
aq = a(3 - 3q)
aq = 3a - 3aq
aq + 3aq = 3a
4aq = 3a
aq = 3a/4

Теперь подставим это в наше выражение для суммы квадратов членов прогрессии:
(3/4)(a + aq/(1 + q)) = (3/4)(a + 3a/4)/((1 + q))(a + 3a/4) = (3/4)(a + 3a/4)/((1 + q)(4 + 3q))

Теперь мы можем найти эту сумму.