Решение задачи по геометрии Дан тетраэдр АВСD A(1;1;1), B(1;2;5), C(2;4;1), D(3;2;2). 1. Написать уравнение сферы с центром в точке А и касающейся плоскости BCD. 2. Написать уравнения высоты грани АВС, проходящей через вершину А. Т.е., написать уравнения прямой, содержащей высоту треугольника АВС 3. Найти точку, симметричную точке А относительно плоскости BCD

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Так как сфера касается плоскости BCD, то расстояние от центра сферы до плоскости BCD равно радиусу сферы. Таким образом, чтобы найти радиус сферы, найдем расстояние от точки А до плоскости BCD:

d = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2), где коэффициенты A, B, C, D в уравнении плоскости Ax + By + Cz + D = 0, а координаты точки А - A(1;1;1).

Уравнение плоскости BCD задается координатами точек B, C, D, следовательно
2x + 6y - z - 7 = 0

Теперь найдем расстояние от точки А до плоскости BCD
d = |21 + 61 - 1 - 7| / sqrt(2^2 + 6^2 + (-1)^2) = 5 / sqrt(41)

Таким образом, уравнение сферы имеет вид
(x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 = (5 / sqrt(41))^2

Уравнение высоты грани АВС, проходящей через вершину А, можно найти учитывая, что высота перпендикулярна основанию треугольника АВС. Так как основание треугольника АВС - это треугольник ВСА, то вектор высоты будет направлен вдоль произведения векторов BA и CA. Таким образом, уравнение прямой, содержащей высоту треугольника АВС будет иметь вид
l: x = 1 + t, y = 1 + t, z = -3t + 1, где t - параметр.

Чтобы найти точку, симметричную точке А относительно плоскости BCD, нужно найти проекцию точки А на плоскость BCD и отразить эту проекцию относительно плоскости BCD. Проекция точки А на плоскость BCD - это точка пересечения перпендикуляра, проведенного из точки А к плоскости BCD. Найдем эту точку
l: 2x + 6y - z - 7 = 0 - уравнение плоскости BC
(x; y; z) - произвольная точка на прямой из точки
(x; y; z) = (1;1;1) + t(1;1;-3)

Подставим координаты точки на прямой в уравнение плоскости BCD
2(1+t) + 6(1+t) - (1-3t) - 7 =
2 + 2t + 6 + 6t - 1 + 3t - 7 =
11t =
t = 0

Отсюда получаем, что проекция точки А на плоскость BCD равна (1;1;1).

Теперь найдем точку, симметричную точке А относительно плоскости BCD
d = |21 + 61 - 1 - 7| / sqrt(2^2 + 6^2 + (-1)^2) = 5 / sqrt(41)

Точка, симметричная точке А относительно плоскости BCD, имеет координаты
(1;1;1) - 2 (5 / sqrt(41)) (2; 6; -1) = (-15 / sqrt(41); -29 / sqrt(41); 11 / sqrt(41))