Таким образом, уравнение имеет корни 1 и 3. Теперь построим знаки функции y^2 - 4y + 3 в случайных точках (-∞, 1), (1, 3), (3, ∞). Подставим, к примеру, y = 0 в уравнение:
0 - 4*0 + 3 = 3 > 0
Из этого следует, что область решений неравенства - берем отрезок (1, 3), так как у нас стоит знак меньше или равно. Переведем это обратно в исходные переменные:
Для начала воспользуемся заменой переменной. Обозначим 2^x за y. Тогда неравенство примет вид:
y + 3/y ≤ 4
Умножим обе части неравенства на y, чтобы избавиться от знаменателя:
y^2 + 3 ≤ 4y
Перенесем все члены в левую часть:
y^2 - 4y + 3 ≤ 0
Далее найдем корни квадратного уравнения y^2 - 4y + 3 = 0:
D = (-4)^2 - 4 1 3 = 16 - 12 = 4
y1,2 = (4 ± √D) / (2 * 1) = (4 ± 2) / 2 = 3 или 1
Таким образом, уравнение имеет корни 1 и 3. Теперь построим знаки функции y^2 - 4y + 3 в случайных точках (-∞, 1), (1, 3), (3, ∞). Подставим, к примеру, y = 0 в уравнение:
0 - 4*0 + 3 = 3 > 0
Из этого следует, что область решений неравенства - берем отрезок (1, 3), так как у нас стоит знак меньше или равно. Переведем это обратно в исходные переменные:
2^x ∈ (2, 3]
Ответ: x ∈ (1, log2(3)]