Докажите что при любом значении x верно неравенство: а)2(x+1)(x-3)>(x+5)(x-7); б)1/4(x+5)(x-7)<=(x+2)(x-4); С решением)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Рассмотрим неравенство 2(x+1)(x-3) > (x+5)(x-7).

Развернем скобки
2(x^2 - 3x + x - 3) > (x^2 - 7x + 5x - 35
2(x^2 - 2x - 3) > (x^2 - 2x - 35)

Упростим
2x^2 - 4x - 6 > x^2 - 2x - 3
2x^2 - 4x - 6 > x^2 - 2x - 3
x^2 - 2x + 29 > 0

Решим квадратное уравнение
D = (-2)^2 - 4129 = 4 - 116 = -112 (D < 0, значит, уравнение не имеет корней)

Так как дискриминант отрицательный, то квадратное уравнение x^2 - 2x + 29 = 0 не имеет корней, а значит верно, что при любом значении x неравенство 2(x+1)(x-3) > (x+5)(x-7) выполняется.

б) Рассмотрим неравенство (1/4)(x+5)(x-7) <= (x+2)(x-4).

Развернем скобки и упростим
(1/4)(x^2 - 7x + 5x - 35) <= (x^2 - 4x + 2x - 8
(1/4)(x^2 - 2x - 35) <= (x^2 - 2x - 8
(x^2 - 2x - 35)/4 <= x^2 - 2x - 8

Упростим и приведем к общему знаменателю
(x^2 - 2x - 35) <= 4(x^2 - 2x - 8
x^2 - 2x - 35 <= 4x^2 - 8x - 3
3x^2 - 6x - 3 <=
x^2 - 2x - 1 <= 0

Решим квадратное уравнение
D = (-2)^2 - 41(-1) = 4 + 4 = 8

Найдем корни уравнения
x1,2 = (2 ± √8) /
x1 = 1 + √2, x2 = 1 - √2

Таким образом, корни уравнения x^2 - 2x - 1 = 0 равны 1 ± √2. После подстановки точек, можно убедиться, что при определенных значениях x неравенство выполняется, следовательно, данное неравенство не верно при всех значениях x.