Основные задачи взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве Найдите расстояние от точки М0 до плоскости, проходящей через три точки М1, М2, М3.
M1(-1, -5, 2), M2(-6, 0, -3), M3(3, 6, -3), M0(10, -8, -7)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения расстояния от точки M0 до плоскости, проходящей через точки M1, M2, M3, мы можем воспользоваться формулой для расстояния от точки до плоскости:

d = |ax0 + by0 + cz0 + d| / √(a^2 + b^2 + c^2),

где (a, b, c) - координаты вектора нормали к плоскости, (x0, y0, z0) - координаты точки M0, d - коэффициент в уравнении плоскости ax + by + cz + d = 0.

Для начала найдем уравнение плоскости, проходящей через точки M1, M2, M3. Для этого построим два вектора:

v1 = M2M1 = (-6 + 1, 0 + 5, -3 - 2) = (-5, 5, -5),
v2 = M3M1 = (3 + 1, 6 + 5, -3 - 2) = (4, 11, -5).

Теперь найдем векторное произведение v1 и v2, которое равно нормали к плоскости:

n = v1 x v2 = i (-5 (-5) - 5 11) - j (5 4 - (-5) (-5)) + k (-5 11 - (-5) * 4) = -25i + 15j - 45k.

Теперь найдем коэффициент d, подставив точку M1(-1, -5, 2) в уравнение плоскости:

-25(-1) + 15(-5) - 45*2 + d = 0,
25 + 75 - 90 + d = 0,
d = -10.

Таким образом, уравнение плоскости будет: -25x + 15y - 45z - 10 = 0.

Далее подставим координаты точки M0(10, -8, -7) в формулу расстояния от точки до плоскости:

d = |(-25)10 + 15(-8) - 45*(-7) - 10| / √((-25)^2 + 15^2 + (-45)^2) = |(-250) - 120 + 315 - 10| / √(625 + 225 + 2025) = |(-65)| / √2875 = 65 / √2875 ≈ 1.21.

Таким образом, расстояние от точки M0 до плоскости, проходящей через точки M1, M2, M3, составляет около 1.21 единиц.