Внутри равностороннего треугольника со стороной 1 см расположено 5 точек. Доказать, что расстояние между некоторыми двумя из них меньше 0.5 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала разделим каждую сторону треугольника на 4 равные части длиной 0.25 см каждая. Таким образом, получим на сторонах треугольника точки А, В, С, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, Q.

Теперь рассмотрим любую из точек, например точку А. В равностороннем треугольнике сумма углов при основании равна 60 градусам, а угол при вершине равен 60 градусам. Таким образом, если мы проведем лучи из точки А, параллельные сторонам треугольника, они будут образовывать вершину угла 120 градусов, внутри которого содержится одна из точек. Так как точек 5, то по принципу Дирихле среди этих точек, расположенных в угле 120 градусов, найдутся две, расстояние между которыми меньше 0.5 см.

Таким образом, доказано, что расстояние между некоторыми двумя из пяти точек, расположенных внутри равностороннего треугольника со стороной 1 см, меньше 0.5 см.