Пример 14. Найдите наименьшее целое значение функции y = 1/3*(36sin2x – 12sinx + 17)^1/2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения наименьшего целого значения функции y = 1/3*(36sin^2x – 12sinx + 17)^1/2 необходимо найти минимальное значение выражения 36sin^2x – 12sinx + 17.

Для начала найдем производную данного выражения:
d/dx (36sin^2x – 12sinx + 17) = 72sinx*cosx - 12cosx = 12cosx(6sinx - 1)

Производная равна нулю, когда cosx = 0 или 6sinx - 1 = 0.
Отсюда получаем два типичных значений x: x1 = π/2 и x2 = arcsin(1/6).

Теперь найдем значения функции в этих точках:
y1 = 1/3(36sin^2(π/2) – 12sin(π/2) + 17)^1/2 = 1/3(361 – 121 + 17)^1/2 = 1/3(41)^1/2 = sqrt(41)/3
y2 = 1/3(36sin^2(arcsin(1/6)) – 12sin(arcsin(1/6)) + 17)^1/2 = 1/3(36(1/6)^2 – 12(1/6) + 17)^1/2 = 1/3(6 - 2 + 17)^1/2 = 21^(1/2)/3 = sqrt(21)/3

Таким образом, минимальное целое значение функции y = 1/3*(36sin^2x – 12sinx + 17)^1/2 равно 3.