Задача по геометрии
Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD с основанием ABCD , объём которой равен 18. Точка M разбивает сторону SA в отношении 5/1, считая от вершины S. Найдите объём треугольной пирамиды MBDA .

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим через V объем пирамиды MBDA.

Так как пирамида SABCD правильная, то все её боковые грани равны между собой. Также, объем правильной пирамиды можно найти по формуле V = (1/3) S h, где S - площадь основания, h - высота.

Поскольку пирамида SABCD правильная, площадь её основания равна S^2, где S - длина стороны основания. Таким образом, S^2 = 18.

Обозначим сторону основания через a. Тогда сторона пирамиды SA = a, сторона MB = 5a/6, сторона BD = 5a/6.

Теперь рассмотрим треугольную пирамиду MBDA. Её объем можно найти, используя формулу V = (1/3) S h, где S - площадь основания, h - высота. Площадь основания треугольной пирамиды MBDA равна (1/2) MB BD * sin(∠MBD), где ∠MBD - угол между сторонами MB и BD.

Так как треугольник MBD - прямоугольный, sin(∠MBD) = sin(90) = 1, и площадь основания равна (1/2) 5a/6 5a/6 = (25/72) * a^2.

Теперь найдем высоту треугольной пирамиды MBDA. Высота проектируется из вершины A на основание MBD. Рассмотрим прямоугольный треугольник SAM, в котором SA = a, AM = (5/6)a. Тогда высота перпендикуляра из вершины A на основание MBD равна AM = (5/6)a.

Таким образом, V = (1/3) (25/72) a^2 (5/6) = 25 / 1296 a^2.

Так как S^2 = 18, то a = √18. Подставляя a = √18, получаем V = 25 / 1296 * 18 = 25 / 72.

Итак, объем треугольной пирамиды MBDA равен 25/72.