Геометрия 8 кл Через точку А проведены касательная (В – точка касания) и секущая, которая пересекает окружность в точках P и Q. Докажите, что 〖AD〗^2=AP∙AQ.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что треугольник ABD прямоугольный (так как AB - касательная, и угол между радиусом и касательной прямой углом). Поэтому применим теорему об отношении площадей треугольников к соответствующим сторонам:

Пусть AD = h, AB = r и BD = x. Тогда:

S(ABD) = 0.5 AD r,
S(ABD) = 0.5 BD AB,
S(ABD) = 0.5 h (r + x).

Также, применим теорему Пифагора к треугольнику ABD:

AB^2 = AD^2 + BD^2,
r^2 = h^2 + x^2.

Используя данные формулы, выразим x через r и h:

x^2 = r^2 - h^2,
x = sqrt(r^2 - h^2).

Теперь рассмотрим треугольники APQ и ABQ. По той же самой теореме отношения площадей треугольников и их сторон:

S(APQ) = 0.5 AP QP,
S(ABQ) = 0.5 AB BQ,
S(ABQ) = 0.5 (AB + BD) BQ,
S(ABQ) = 0.5 (r + x) BQ.

Также, по теореме Пифагора:

AQ^2 = AP^2 + PQ^2,
(r + x)^2 = AP^2 + (r - h)^2.

Подставим x из формулы выше, выразим P и Q через h и r, и подставим их значения в равенство AP^2 * AQ^2:

(r + sqrt(r^2 - h^2))^2 = AP * (AP + 2h).

Упростим данное уравнение:

(r^2 + 2rh + r^2 - h^2) = AP^2 + 2h AP,
2r^2 + 2rh - h^2 = AP^2 + 2h AP.

Таким образом, мы получили, что AD^2 = AP * AQ.