Решить данную задачу
Буду очень благодарен за помощь Вычислить
а) объём тетраэдра с вершинами в точках А1 А2 А3 А4
б) высоту, опущенную из вершины А4 на грань А1А2А3
А1(3;10;-1) А2(-2;3;-5) А3(-6;0;-3) А4(1;-1;2)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Для вычисления объема тетраэдра с вершинами в точках A1, A2, A3, A4 воспользуемся формулой объема тетраэдра через смешанное произведение векторов:

V = 1/6 |(A1 - A4) ((A2 - A4) x (A3 - A4))|,

где |...| - модуль вектора, x - векторное произведение.

Сначала найдем векторы (A1 - A4), (A2 - A4), (A3 - A4):

A1 - A4 = (3 - 1; 10 - (-1); -1 - 2) = (2; 11; -3),
A2 - A4 = (-2 - 1; 3 - (-1); -5 - 2) = (-3; 4; -7),
A3 - A4 = (-6 - 1; 0 - (-1); -3 - 2) = (-7; 1; -5).

Теперь найдем векторное произведение (A3 - A4) x (A2 - A4):

(A3 - A4) x (A2 - A4) = i ((1 (-5) - 4 (-5)); j ((-7) (-7) - 5 (-7)); k ((-7) 4 - 1 (-3)))
= i (5 - 20) + j (49 + 35) + k (-28 + 3)
= i (-15) + j 84 + k * (-25)
= (-15; 84; -25).

Теперь вычислим смешанное произведение и найдем объем тетраэдра:

V = 1/6 |(2; 11; -3) (-15; 84; -25)|
= 1/6 |(2 (-25) - 11 (-3); 2 (-15) - (-25) (-3); 11 84 - 2 (-15))|
= 1/6 |(-50 + 33; -30 + 75; 924 + 30)|
= 1/6 |(-17; 45; 954)|
= 1/6 sqrt((-17)^2 + 45^2 + 954^2)
= 1/6 sqrt(289 + 2025 + 908916)
= 1/6 sqrt(911230)
≈ 169.13.

Ответ: объем тетраэдра с вершинами в точках A1, A2, A3, A4 равен приблизительно 169.13.

б) Чтобы найти высоту, опущенную из вершины A4 на грань A1A2A3, можно воспользоваться формулой для высоты тетраэдра:

h = (V * 3) / S,

где V - объем тетраэдра, S - площадь грани, на которую опущена высота.

Площадь грани A1A2A3 вычисляется как половина модуля векторного произведения двух сторон:

S = 1/2 * |(A2 - A1) x (A3 - A1)|.

Сначала найдем векторы (A2 - A1), (A3 - A1):

A2 - A1 = (-2 - 3; 3 - 10; -5 - (-1)) = (-5; -7; -4),
A3 - A1 = (-6 - 3; 0 - 10; -3 - (-1)) = (-9; -10; -2).

Теперь найдем векторное произведение (A2 - A1) x (A3 - A1):

(A2 - A1) x (A3 - A1) = i ((-7 (-2) - (-4) (-10)); j ((-5 (-2) - (-4) (-9)); k ((-5) (-10) - (-7) (-9)))
= i ((14 - 40); j ((10 - 36)); k ((50 - 63))
= i (-26) + j (-26) + k * (-13)
= (-26; -26; -13).

Теперь вычислим площадь грани и далее найдем высоту:

S = 1/2 |(-26; -26; -13)|
= 1/2 sqrt((-26)^2 + (-26)^2 + (-13)^2)
= 1/2 sqrt(676 + 676 + 169)
= 1/2 sqrt(1521)
= 1/2 * 39
= 19.5.

Теперь найдем высоту:

h = (169.13 * 3) / 19.5
≈ 26.08.

Ответ: высота, опущенная из вершины A4 на грань A1A2A3, примерно равна 26.08.