Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах а и в. а=p+3q; b=3p-q |p|=3 |q|=5 (p^q) =2π\3

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления площади параллелограмма, построенного на векторах a и b, нужно воспользоваться формулой площади параллелограмма, образованного двумя векторами:

S = |a x b|,

где x - векторное произведение, |a x b| - модуль векторного произведения.

Для начала найдем векторное произведение a и b:

a x b = (p + 3q) x (3p - q).

Вычислим это произведение:

a x b = p x 3p - p x q + 3q x 3p - 3q x q.

Так как векторное произведение антикоммутативно, то p x q = -q x p.

a x b = p x 3p - q x p + 3q x 3p - q x 3q.

Знаки опущены, так как понятно, что в них стоит минус.

Теперь найдем векторное произведение каждой пары векторов:

p x 3p = 3p^2 sin(φ) n,

где n - единичный вектор, φ - угол между векторами p и 3p.

Так как p^3 = 0 (векторное произведение вектора на самого себя), то результатом будет нулевой вектор.

Для следующего векторного произведения - q x p:

q x p = q p sin(φ) * n.

Теперь найдем скалярное произведение векторов q и p:

q p = |q| |p| * cos(30°).

|q| = 5, |p| = 3, φ = 120°:

q x p = 15 5 cos(120°) n = -15 5 1/2 n = -75/2 * n.

Для векторного произведения q и 3p:

3p = 3 3 cos(90°) = 9.

Теперь найдем векторное произведение 3q и 3p:

3q x 3p = 3 3q 9 n = 27 3 5 n = 135 * n.

Последнее векторное произведение уже скеллировано и готово к вычислению площади:

S = | -75/2 n + 135 n| = |135 - 75/2| = |270/2 - 75/2| = |195/2| = 195/2 = 97.5.

Площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b, составляет 97.5.