Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна c, а двугранный угол при основании равен y.
Вычислите радиус шара вписанного в эту пирамиду. Ответ:(если написано c*, то это буква c*)
A) C*tg(y/2)/siny;B) C*tg(y/2)/cosy; D)C*ctg(y/2) /cosy

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду, вписанную в шар. Обозначим радиус шара через r.

Сначала найдем радиус r1 вписанной в основание пирамиды окружности. Так как это правильный четырехугольник, то окружность вписана точно посередине его стороны, и мы можем провести высоту пирамиды, которая будет равна c/2. Таким образом, получаем, что r1 = c*tg(y/2)/2.

Теперь обратимся к треугольнику, вписанному в данную четырехугольную пирамиду. Его стороны соответствуют длине боковой стороны четырехугольника. Обозначим эту длину через l. Так как угол при вершине пирамиды равен y, то гипотенуза треугольника равна l/cos(y/2). Следовательно, радиус r равен половине гипотенузы треугольника, а именно:

r = (l/cos(y/2))/2.

Нам осталось выразить l через r1. Посмотрим на треугольник, вписанный в четырехугольную пирамиду. Его одна из сторон равна l, другая равна 2r1, и гипотенуза равна 2r. Тогда применяя теорему косинусов к этому треугольнику, получаем:

(2r)^2 = l^2 + (2r1)^2 - 2l2r1*cos(90-y/2).

Подставляем l = 2rcos(y/2) в это уравнение и решаем его относительно r.

(2r)^2 = (2rcos(y/2))^2 + (2r1)^2 - 22rcos(y/2)2r1*sin(y/2).

Сокращаем одно r:

4r^2 = 4r^2cos^2(y/2) + 4r1^2 - 8rr1sin(y/2)cos(y/2).

Делим на 4, и переносим 4r^2cos^2(y/2) и 8rr1sin(y/2)cos(y/2) налево:

r^2 = r1^2 - 2rr1sin(y/2)cos(y/2).

Подставляем выражение для r1 в это уравнение:

r^2 = (ctg(y/2)/2)^2 - 2r(ctg(y/2)/2)sin(y/2)cos(y/2).

Из последнего уравнения выделяем r:

r(1 + tg^2(y/2)) = c * tg(y/2)/2.

r = C*tg(y/2)/cos(y/2).

Таким образом, правильный ответ – B.