Найти координаты проекции точки A = (1, −2, 0) на
прямую, проходящую через точки B = (−1, −2, −1) и
C = (0, −3, 0). Найти координаты проекции точки A = (1, −2, 0) на
прямую, проходящую через точки B = (−1, −2, −1) и
C = (0, −3, 0).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем направляющий вектор прямой, проходящей через точки B и C:

AB = (-1 - 1, -2 + 2, -1 - 0) = (-2, 0, -1)
AC = (0 - 1, -3 + 2, 0 - (-1)) = (-1, -1, 1)

Направляющий вектор прямой будет равен их векторному произведению:
n = AB x AC = det| i j k |
|-2 0 -1|
|-1 -1 1| =
= (01 - (-1)(-1), -(-2)1 - (-1)(-1), -2(-1) - 0(-1)) =
= (1, -1, 2)

Теперь найдем координаты проекции точки A на прямую. Для этого найдем проекцию вектора OA на направляющий вектор прямой, и затем прибавим координаты точки A:

OA = (1, -2, 0)
proj_n(OA) = ((OA n) / |n|^2) n = ((11 - 2(-1) + 02) / (1^2 + 1^2 + 2^2)) (1, -1, 2) = (3/6) * (1, -1, 2) = (1/2, -1/2, 1)

Проекция точки A на прямую будет равна сумме этой проекции и координат точки A:
proj(A) = (1, -2, 0) + (1/2, -1/2, 1) = (3/2, -5/2, 1)