Известно, что последовательность (xn yn) расходится.
Верно ли, что
Известно, что последовательность (xn yn) расходится.
Верно ли, что
а) обе последовательности (xn), (yn) расходятся?
б) хотя бы одна из последовательностей (xn), (yn) расходится? Ответы обоснуйте.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Нет, не обязательно. Расходящаяся последовательность может быть представлена как сумма двух последовательностей, одна из которых расходится, а другая сходится. Например, x_n = n и y_n = -n.

б) Да, хотя бы одна из последовательностей (xn), (yn) должна расходиться. Предположим, что обе последовательности сходятся. Тогда их пределы существуют и равны l и m. Тогда в силу конечности пределов существует число N, такое что для всех n > N выполняется |x_n - l| < 1 и |y_n - m| < 1. Тогда |(x_n + y_n) - (l + m)| < 2, так что предел (x_n + y_n) существует и равен l + m, что противоречит тому, что последовательность (x_n + y_n) расходится.