Определить собственные значения и собственные векторы матрицы третьего порядка
Определить собственные значения и собственные векторы матрицы третьего порядка
3 0 0
2 7 -4
2 -2 5

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения собственных значений и собственных векторов матрицы третьего порядка нужно решить уравнение det(A-λI) = 0, где A - исходная матрица, λ - собственное значение, I - единичная матрица.

Исходная матрица:
3 0 0
2 7 -4
2 -2 5

Выразим матрицу A-λI:
(3-λ) 0 0
2 (7-λ) -4
2 -2 (5-λ)

Раскроем определитель для нахождения уравнения:
det(A-λI) = (3-λ)((7-λ)(5-λ) + 42) - 2(2(5-λ) + 4)
det(A-λI) = (3-λ)(35 - 12λ + λ^2 + 8) - 2(10 - 2λ + 4)
det(A-λI) = (3-λ)(43 - 12λ + λ^2) - 2(14 - 2λ)
det(A-λI) = λ^3 - 15λ^2 + 59λ - 60

Подставляем λ в уравнение и находим корни уравнения: λ1 = 3, λ2 = 4, λ3 = 5

Теперь найдем соответствующие собственные векторы для каждого собственного значения путем решения системы уравнений (A - λI)x = 0.

Для λ1 = 3:
(3-3) 0 0 0
2 7-3 -4 0
2 -2 5-3 = 0
0 0 0

x1 = [0, 0, 0]

Для λ2 = 4:
(3-4) 0 0 0
2 7-4 -4 0
2 -2 5-4 = 0
-1 0 0

x2 = [0, 0, 1]

Для λ3 = 5:
(3-5) 0 0 0
2 7-5 -4 0
2 -2 5-5 = 0
-2 0 0

x3 = [0, 0, 1]

Таким образом, собственные значения матрицы A равны 3, 4 и 5, а соответствующие им собственные векторы:
для λ1 = 3: [0, 0, 0]
для λ2 = 4: [0, 0, 1]
для λ3 = 5: [0, 0, 1]