Исследование функций и построение графиков 1. Исследуйте функцию и постройте её график:
y=3x-x^3
2. Исследуйте функцию на монотонность:
y=x/1-x^2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для функции y = 3x - x^3 проведем исследование.

а) Найдем производную функции:
y' = 3 - 3x^2

б) Найдем точки экстремума, приравняв производную к нулю:
3 - 3x^2 = 0
3x^2 = 3
x^2 = 1
x = ±1

в) Исследуем знак производной в окрестностях найденных точек:
При x < -1 производная y' > 0, значит функция возрастает.
При -1 < x < 1 производная y' < 0, значит функция убывает.
При x > 1 производная y' > 0, значит функция возрастает.

г) Найдем точки перегиба, приравняв вторую производную к нулю:
y'' = -6x = 0
x = 0

д) Исследуем выпуклость функции:
При x < 0 вторая производная y'' > 0, значит функция выпукла вверх.
При x > 0 вторая производная y'' < 0, значит функция выпукла вниз.

Для функции y = x/(1-x^2) проведем исследование на монотонность.

а) Найдем производную функции:
y' = (1-x^2)(1) - x(-2x)/ (1-x^2)^2
y' = 1 - x^2 + 2x^2 / (1-x^2)^2
y' = x + x^2 / (1-x^2)^2
y' = x(1 + x) / (1-x^2)^2

б) Посмотрим знак производной в интервалах (-∞, -1), (-1, 1), (1, ∞):

При x < -1, y' < 0, функция убывает.При -1 < x < 1, y' > 0, функция возрастает.При x > 1, y' > 0, функция возрастает.

Таким образом, мы исследовали функции и построили их графики, а также выяснили монотонность данных функций.