Задача по геометрии Окружность с центром в точке О, вписанная в треугольник АВС, касается стороны АВ в точке D, стороны АС – в точке Е и стороны ВC в точке М. Прямая OD пересекает сторону АС в точке Н, HC = 2, а прямая ОЕ пересекает сторону АВ в точке К, KB = 1. Найти отношение
BM :MC, если BC = 11.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим радиус окружности как r. Так как AD и BM - биссектрисы треугольника ABC, то BD = AB - AD = AB/2.

Так как OD, OE и OF - высоты треугольников ADO, AEO и BMO, то BN = AN = r, AK = KE = r, BD = AB/2 и DM = BM/2.

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике АНD:

AD^2 + ND^2 = AN^2.

r^2 + ND^2 = r^2.

ND^2 = 0.

Поэтому треугольник ADN вырожденный и ADN = 90 градусов.

Тогда ABC ~ ABD ~ AOD ~ AOE ~ BCD ~ BMO.

Следовательно, отношение BM/MC равно отношению сторон треугольников BMO и BCO.

BM/MC = BO/CO = 1/2.

Следовательно, BM/MC = 1/2.