Задача по геометрии В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см. Диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45 градусов. Найдите боковое ребро, объем и площадь полной поверхности параллелепипеда

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим боковое ребро параллелепипеда через $a$, его высоту через $h$, а его диагональ через $d$.

Так как диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол 45 градусов, то получаем прямоугольный треугольник со сторонами $a$, $h$ и $d$.

Из теоремы Пифагора для этого треугольника имеем:
$$d^2 = a^2 + h^2.$$

Также известно, что стороны основания равны 12 см и 5 см, следовательно, мы можем записать:
$$a = 12 \text{ см},$$
$$h = 5 \text{ см}.$$

Из условия задачи также известно, что диагональ параллелепипеда равна
$$d = \sqrt{a^2 + h^2}.$$
Вычисляем диагональ:

$$d = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144+25} = \sqrt{169} = 13 \text{ см}.$$

Теперь найдем боковое ребро $a$. Получаем прямоугольный треугольник с катетами 5 см и a и гипотенузой 13 см, так как она равна диагонали. Применяем теорему Пифагора:

$$13^2 = a^2 + 5^2,$$
$$169 = a^2 + 25,$$
$$a^2 = 169 - 25,$$
$$a^2 = 144,$$
$$a = 12 \text{ см}.$$

Теперь можем найти объем и площадь полной поверхности параллелепипеда.

Объем параллелепипеда равен:
$$V = a \cdot h \cdot d = 12 \cdot 5 \cdot 13 = 780 \text{ см}^3.$$

Площадь полной поверхности параллелепипеда равна:
$$S = 2 \cdot (a \cdot h + a \cdot d + h \cdot d) = 2 \cdot (12 \cdot 5 + 12 \cdot 13 + 5 \cdot 13) = 2 \cdot (60 + 156 + 65) = 2 \cdot 281 = 562 \text{ см}^2.$$

Итак, боковое ребро параллелепипеда равно 12 см, объем равен 780 куб. см, а площадь полной поверхности равна 562 кв. см.