1. Решите систему уравнений по формулам Крамера. Это все одна скобка, если что{3х-2y+z=10{х+5у-2z=-15{2x-2y-z=32. Решите систему уравнений методом Гаусса{2х-3у+z=-3{x+5y-z=-1{3x+y+4z=113. Матричным способом {2x-y+z=2{3x+2y+2z=-2{x-2y+z=1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Сначала найдем определитель матрицы коэффициентов системы уравнений:
D = \begin{vmatrix} 3 & -2 & 1 \ 1 & 5 & -2 \ 2 & -2 & -1 \end{vmatrix} = 3(5(-1)-(-2)(-2))-(-2(-2)-12)+2(-21-5(-1)) = 3(-5+4)-(-4+2)+2(-2+5) = 3(-1) - (-2) + 23 = -3 + 2 + 6 = 5

Теперь найдем определители по формулам Крамера:
Dx = \begin{vmatrix} 10 & -2 & 1 \ -15 & 5 & -2 \ 32 & -2 & -1 \end{vmatrix} = 10(5(-1)-(-2)(-2))-(-2(-2)-1(-15))+32(-21-5(-1)) = 10(-5+4)-(-4+15)+32(-2-5) = 10(-1) - (-11) + 32(-7) = -10 + 11 - 224 = -223
Dy = \begin{vmatrix} 3 & 10 & 1 \ 1 & -15 & -2 \ 2 & 32 & -1 \end{vmatrix} = 3(-15-(-2)32)-10(-2-1)+2(101 - 3(-15)) = 3(-15+64)-10(-3)+2(10+45) = 349 + 30 + 255 = 147 + 30 + 110 = 287
Dz = \begin{vmatrix} 3 & -2 & 10 \ 1 & 5 & -15 \ 2 & -2 & 32 \end{vmatrix} = 3(532-(-2)(-15))-(-2(-15)-101)+2(-25-321) = 3(160-30)-(-30-10)+2(-10-32) = 3130+20+2(-42) = 390 + 20 - 84 = 326

Теперь найдем решения системы уравнений:
x = Dx / D = -223 / 5 = -44.6
y = Dy / D = 287 / 5 = 57.4
z = Dz / D = 326 / 5 = 65.2

Ответ: x ≈ -44.6, y ≈ 57.4, z ≈ 65.2

Приведем систему уравнений к матричному виду:
[ \begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 \ 1 & 5 & -1 \ 3 & 1 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \ -1 \ 13 \end{pmatrix} ]

Теперь найдем обратную матрицу для матрицы коэффициентов:
[ A = \begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 \ 1 & 5 & -1 \ 3 & 1 & 4 \end{pmatrix} ]

[ \begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 & 1 & 0 & 0 \ 1 & 5 & -1 & 0 & 1 & 0 \ 3 & 1 & 4 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ]

Проводим элементарные преобразования строк:
[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 19/47 & -3/47 & -1/47 \ 0 & 1 & 0 & 2/47 & 1/47 & -3/47 \ 0 & 0 & 1 & -7/47 & 4/47 & 9/47 \end{pmatrix} ]

Обратная матрица:
[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 19/47 & -3/47 & -1/47 \ 2/47 & 1/47 & -3/47 \ -7/47 & 4/47 & 9/47 \end{pmatrix} ]

Умножаем обратную матрицу на вектор свободных членов:
[ \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19/47 & -3/47 & -1/47 \ 2/47 & 1/47 & -3/47 \ -7/47 & 4/47 & 9/47 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3 \ -1 \ 13 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -20/47 \ -7/47 \ 84/47 \end{pmatrix} ]

Ответ: x = -20/47, y = -7/47, z = 84/47

Приведем систему уравнений к матричному виду:
[ \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \ 3 & 2 & 2 \ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \ -2 \ 1 \end{pmatrix} ]

Найдем обратную матрицу для матрицы коэффициентов:
[ A = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 \ 3 & 2 & 2 \ 1 & -2 & 1 \end{pmatrix} ]

[ \begin{pmatrix} 2 & -1 & 1 & 0 & 1 & 0 \ 3 & 2 & 2 & 1 & 0 & 0 \ 1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} ]

Проводим элементарные преобразования строк:
[ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 2/7 & 1/7 & -1/7 \ 0 & 1 & 0 & -5/7 & 2/7 & 3/7 \ 0 & 0 & 1 & 3/7 & 1/7 & -2/7 \end{pmatrix} ]

Обратная матрица:
[ A^{-1} = \begin{pmatrix} 2/7 & 1/7 & -1/7 \ -5/7 & 2/7 & 3/7 \ 3/7 & 1/7 & -2/7 \end{pmatrix} ]

Умножаем обратную матрицу на вектор свободных членов:
[ \begin{pmatrix} x \ y \ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2/7 & 1/7 & -1/7 \ -5/7 & 2/7 & 3/7 \ 3/7 & 1/7 & -2/7 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \ -2 \ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3/7 \ -1/7 \ 0 \end{pmatrix} ]

Ответ: x = 3/7, y = -1/7, z = 0