Найти сумму корней в градусах уравнения cos x - 2√3*sin^2 x=cos3x принадлежащих отрезку {-pi, p]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала преобразуем уравнение:

cos x - 2√3sin^2 x = cos 3x
cos x - 2√3(1 - cos^2 x) = cos 3x
cos x - 2√3 + 2√3*cos^2 x = cos 3x

Теперь преобразуем косинус 3х:

cos 3x = cos(2x + x) = cos 2xcos x - sin 2xsin x
cos 3x = (2cos^2 x - 1)cos x - 2sin xcos x

И подставляем в уравнение:

cos x - 2√3 + 2√3cos^2 x = (2cos^2 x - 1)cos x - 2sin x*cos x

cos x - 2√3 + 2√3cos^2 x = 2cos^3 x - cos x - 2sin xcos x

Выносим все в левую часть и приводим подобные слагаемые:

2cos^3 x + 3cos x - 2√3 - 2√3*cos^2 x = 0

2(cos x + √3)(cos^2 x - cos x - √3) = 0

cos^2 x - cos x - √3 = 0

Далее решаем квадратное уравнение:

D = 1 + 4√3
cos x = (1 ± √D) / 2

cos x = (1 ± sqrt(1 + 4√3)) / 2

Теперь найдём сумму корней в градусах:

cos x1 = (1 + sqrt(1 + 4√3)) / 2 ≈ 1.161
cos x2 = (1 - sqrt(1 + 4√3)) / 2 ≈ -0.278

cos x1 = cos 60° = 1 / 2
cos x2 = cos 75° ≈ 0.258

Сумма корней в градусах: 60 + 75 = 135°.