Найдите периметр параллелограмма В параллелограмме ABCD диагонали BD и AC равны 10 и 12√3 соответственно, угол AOB = 30°, O – точка пересечения диагоналей. Найдите периметр параллелограмма. При выполнении задания необходимо сделать рисунок.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала построим параллелограмм ABCD с заданными условиями.

Так как угол AOB = 30°, то угол AOD = 180° - 30° = 150° (сумма углов в треугольнике AOB равна 180°). Также угол BOC = 180° - 30° = 150°.

Заметим, что треугольник AOD - равнобедренный, так как стороны AO и DO равны (они являются радиусами окружности). Также треугольник BOC - равнобедренный.

Из равнобедренности треугольников имеем, что углы A = 75° и C = 75°, а также B = 105° и D = 105°.

Теперь посчитаем стороны параллелограмма. Рассмотрим треугольник AOB. Из него можем найти сторону AB:

cos 30° = AB/10,
AB = 10 cos 30° = 10 √3 / 2 = 5√3.

Теперь рассмотрим треугольник AOD. Так как треугольник равнобедренный, то сторона AD равна стороне AO, которая равна радиусу и равна 12.

Используем теорему косинусов для нахождения стороны AD:

AD^2 = AO^2 + OD^2 - 2 AO OD cos 150°,
AD^2 = 12^2 + 10^2 - 2 12 10 cos 150°,
AD^2 = 144 + 100 - 240 cos 150°,
AD^2 = 244 + 240 √3 / 2 = 244 + 120√3,
AD = √(244 + 120√3).

Так как стороны параллелограмма равны, то AD = BC.

Периметр параллелограмма равен 2*(AB+AD). Подставляем найденные значения:

2*(5√3 + √(244 + 120√3)) = 10√3 + 2√(244 + 120√3).

Итак, периметр параллелограмма равен 10√3 + 2√(244 + 120√3).