Контрольная работа алгебра Найдите объём фигуры, образованной вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной параболой y = 1 - x^2 и осью абсцисс.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем уравнение криволинейной трапеции. Поскольку дана парабола y = 1 - x^2, то уравнение криволинейной трапеции может быть записано в виде y = 1 - x^2, где -1 ≤ x ≤ 1.

Теперь найдем объем фигуры, образованной вращением данной криволинейной трапеции вокруг оси абсцисс.

Объем такой фигуры можно найти с помощью интеграла:

V = ∫[a,b] πy^2 dx, где a = -1, b = 1

V = ∫[-1,1] π(1 - x^2)^2 dx

V = π∫[-1,1] (1 - 2x^2 + x^4) dx

Вычислим данное определенное интеграл:

V = π[x - (2/3)x^3 + (1/5)x^5] [-1,1]

V = π[(1 - (2/3) + (1/5)) - (-1 + (2/3) - (1/5))]

V = π[(8/15) + (8/15)]

V = π(16/15)

Итак, объем фигуры, образованной вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной параболой y = 1 - x^2 и осью абсцисс, равен 16π/15.