Выполнить самостоятельную работу по теме «Объем шара и его частей» Выполнить самостоятельную работу по теме «Объем шара и его частей»


№1.На расстоянии 9 м от центра шара проведено сечение, длина окружности которого равна 24π. м.. Найдите объем меньшего шарового сегмента, отсекаемого сечения. плоскостью


№2. Найдите объем шарового сектора, если радиус шара равен 6 см, а высота конуса, образующего сектор, составляет треть диаметра шара


№3. Внутренний диаметр полого шара равен 12 см, а толщина стенок – 3 см. Найдите объем материала из которого сделан шар.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи нам понадобится формула для вычисления объема шара и его частей.

Объем меньшего шарового сегмента, отсекаемого сечением, можно найти следующим образом:

Обозначим $R$ - радиус шара, $r$ - радиус сечения. Тогда высота сегмента $h = R - r$.

Объем сегмента шара вычисляется по формуле: $V = \dfrac{1}{3}\pi h^2 (3R - h)$.

В данном случае $R = 9$ м, $C = 24\pi$ м, следовательно, радиус сечения $r = C / (2\pi) = 12$ м.

$h = R - r = 9 - 12 = -3$ м. Поскольку высота не может быть отрицательной, возьмем модуль: $h = 3$ м.

Теперь можем вычислить объем меньшего шарового сегмента: $V = \dfrac{1}{3} \pi \cdot 3^2 \cdot (3 \cdot 9 - 3) = 54\pi$ м$^3$.

Ответ: объем меньшего шарового сегмента, отсекаемого сечением, равен $54\pi$ м$^3$.

Объем шарового сектора рассчитывается по формуле: $V = \dfrac{2}{3}\pi r^2 h$, где $r$ - радиус сектора, $h$ - высота конуса.

В данном случае радиус шара $R = 6$ см, следовательно, радиус сектора $r = 6$ см. Высота конуса $h$ равна третьему диаметру шара, то есть $h = 2R/3 = 4$ см.

Теперь подставим значения в формулу и рассчитаем объем шарового сектора: $V = \dfrac{2}{3} \pi \cdot 6^2 \cdot 4 = 192\pi$ см$^3$.

Ответ: объем шарового сектора равен $192\pi$ см$^3$.

Для нахождения объема материала, из которого сделан полый шар, нужно вычислить объем внутреннего шара и вычесть из объема внешнего шара.

Объем внутреннего шара: $V_{\text{внутр}} = \dfrac{4}{3} \pi \left(\dfrac{12}{2} - 3\right)^3 = \dfrac{4}{3} \pi \cdot 4^3 = \dfrac{4}{3} \pi \cdot 64$ см$^3$.

Объем внешнего шара: $V_{\text{внешн}} = \dfrac{4}{3} \pi \left(\dfrac{12}{2}\right)^3 = \dfrac{4}{3} \pi \cdot 6^3 = \dfrac{4}{3} \pi \cdot 216$ см$^3$.

Теперь вычислим объем материала: $V = V{\text{внешн}} - V{\text{внутр}} = \dfrac{4}{3} \pi \cdot 216 - \dfrac{4}{3} \pi \cdot 64 = \dfrac{4}{3} \pi \cdot 152$ см$^3$.

Ответ: объем материала, из которого сделан полый шар, равен $\dfrac{4}{3} \pi \cdot 152$ см$^3$.