Найти общее решение y'' - 2y' + y = xe^-x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения общего решения данного дифференциального уравнения нужно сначала найти частное решение неоднородного уравнения и общее решение однородного уравнения.

Дано уравнение:
y'' - 2y' + y = xe^-x

Найдем частное решение неоднородного уравнения методом вариации постоянных.
Предположим, что частное решение имеет вид y_p = Ax^2e^-x, где А - некоторая постоянная.
Вычислим производные:
y_p' = (2Ax - Ax^2)e^-x
y_p'' = ((2A - 2Ax + Ax^2)e^-x

Подставим найденное частное решение в исходное уравнение:
((2A - 2Ax + Ax^2)e^-x) - 2((2Ax - Ax^2)e^-x) + (Ax^2e^-x) = xe^-x

Упростим уравнение:
(Ax^2 - 2Ax + 2A) - 2(2Ax - Ax^2) + Ax^2 = x

(Ax^2 - 2Ax + 2A) - (4Ax - 2Ax^2) + Ax^2 = x
2Ax^2 - 6Ax + 2A = x

Сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях x, получаем систему уравнений:
2A = 0
-6A = 1
2A = 0

Из первого уравнения A = 0.
Из второго уравнения -6 * 0 = 1, что - противоречие.

Поэтому частное решение неоднородного уравнения имеет вид y_p = (Ax + B)x^2e^-x.

Найдем общее решение однородного уравнения.
Для этого решим характеристическое уравнение:
r^2 - 2r + 1 = 0
(r - 1)^2 = 0

Имеем кратный корень r = 1.

Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид y_h = C_1e^x + C_2xe^x, где C_1 и C_2 - произвольные постоянные.

Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид:
y = y_h + y_p = C_1e^x + C_2xe^x + (Ax + B)x^2e^-x.

Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.