Для нахождения общего решения данного дифференциального уравнения нужно сначала найти частное решение неоднородного уравнения и общее решение однородного уравнения.
Дано уравнение y'' - 2y' + y = xe^-x
Найдем частное решение неоднородного уравнения методом вариации постоянных Предположим, что частное решение имеет вид y_p = Ax^2e^-x, где А - некоторая постоянная Вычислим производные y_p' = (2Ax - Ax^2)e^- y_p'' = ((2A - 2Ax + Ax^2)e^-x
Подставим найденное частное решение в исходное уравнение ((2A - 2Ax + Ax^2)e^-x) - 2((2Ax - Ax^2)e^-x) + (Ax^2e^-x) = xe^-x
Для нахождения общего решения данного дифференциального уравнения нужно сначала найти частное решение неоднородного уравнения и общее решение однородного уравнения.
Дано уравнение
Найдем частное решение неоднородного уравнения методом вариации постоянныхy'' - 2y' + y = xe^-x
Предположим, что частное решение имеет вид y_p = Ax^2e^-x, где А - некоторая постоянная
Вычислим производные
y_p' = (2Ax - Ax^2)e^-
y_p'' = ((2A - 2Ax + Ax^2)e^-x
Подставим найденное частное решение в исходное уравнение
((2A - 2Ax + Ax^2)e^-x) - 2((2Ax - Ax^2)e^-x) + (Ax^2e^-x) = xe^-x
Упростим уравнение
(Ax^2 - 2Ax + 2A) - 2(2Ax - Ax^2) + Ax^2 = x
(Ax^2 - 2Ax + 2A) - (4Ax - 2Ax^2) + Ax^2 =
2Ax^2 - 6Ax + 2A = x
Сравнивая коэффициенты при соответствующих степенях x, получаем систему уравнений
2A =
-6A =
2A = 0
Из первого уравнения A = 0
Из второго уравнения -6 * 0 = 1, что - противоречие.
Поэтому частное решение неоднородного уравнения имеет вид y_p = (Ax + B)x^2e^-x.
Найдем общее решение однородного уравненияДля этого решим характеристическое уравнение
r^2 - 2r + 1 =
(r - 1)^2 = 0
Имеем кратный корень r = 1.
Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид y_h = C_1e^x + C_2xe^x, где C_1 и C_2 - произвольные постоянные.
Таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид
y = y_h + y_p = C_1e^x + C_2xe^x + (Ax + B)x^2e^-x.
Это и есть общее решение данного дифференциального уравнения.