В треугольнике ABC проведены две биссектрисы AD и BK, которые пересекаются в точке O. Найдите отношение DO и OA, если AB=14см, BC=20cm, AC=21cm

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем длину отрезков AD и BK.

По теореме биссектрисы в треугольнике ABC:

AD = (BC AB) / (AB + AC) = (20 14) / (14 + 21) = 280 / 35 = 8 см

BK = (AC AB) / (AB + BC) = (21 14) / (14 + 20) = 294 / 34 = 9 см

Теперь найдем отношение DO и OA.

Пусть AO = x, тогда OD = 8 - x (так как AD = 8).

В треугольнике ADO применим теорему синусов:

sin(∠DAO) / AD = sin(∠ADO) / AO

sin(∠AOB) / 8 = sin(∠BDO) / x

sin(∠BOC) / 9 = sin(∠CBO) / (8 - x)

Известны следующие значения синусов:

sin(∠AOB) = sin(∠BOC) = BA / AC = 14 / 21

sin(∠BDO) = sin(∠CBO) = AB / BC = 14 / 20

Подставляем известные значения:

(14 / 21) / 8 = (14 / 20) / x

14 / 168 = 14 / 20x

1 / 12 = 1 / 20x

x = 12 / 20 = 3 / 5

Теперь находим отношение DO и OA:

DO / OA = 8 - 3 / 5 / 3 / 5 = 5 / 3

Ответ: отношение DO и OA равно 5:3.