Алгебра: Пусть S - линейное подпространство M6(R), состоящее из всех верхнетреугольных матриц. Тогда dim S=

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы найти размерность подпространства S, нужно рассмотреть базис данного подпространства.

Пусть Eij - матрица, у которой на i-й строке и j-м столбце стоит 1, а на остальных местах - нули.

Возьмем Eij с i <= j. Тогда все матрицы из S можно представить в виде линейной комбинации таких матриц Eij:
A = a11E11 + a12E12 + ... + a1nE1n + a22E22 + ... + ann*Enn

Таким образом, базис в S состоит из элементов Eij, при i <= j. Эти элементы образуют линейно независимую систему, так как любая матрица из S однозначно определяется этими элементами.

Таким образом, dim S равна числу всех Eij, при i <= j, то есть количество верхнетреугольных элементов матрицы 6x6:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21

Итак, dim S = 21.