Найти общее решение дифференциальных уравнений:
1). 4*x+6*y+y'*(3*y-x)=0
2). x*y'=y*ln(x/y)
3). (x^2)*dy+(y-1)*dx=0
4). ((y')^2)+2*y*y''=0
Найти частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям:
y''-4*y'=8*x^3, y(0)=2, y'(0)=-3

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) Уравнение 4x + 6y + y'(3y - x) = 0 можно решить, представив его в виде уравнения с разделяющимися переменными:
6y + y'(3y - x) = -4x
6y + 3yy' - xy' = -4x
3y(y' + 2) = x*(-4x)
y(y' + 2) = -4x^2

2) Уравнение xy' = y*ln(x/y) записывается как y'/y = ln(x/y)/x и решается методом разделения переменных:

∫(1/y)dy = ∫(ln(x/y)/x)dx
ln|y| = -ln(y) + C
|y| = e^(-ln(y) + C) = e^C/e^ln(y) = Ce^(-ln(y)) = C/y

3) Уравнение x^2 dy + (y - 1) dx = 0 можно преобразовать к форме уравнения с разделяющимися переменными:

dy/dx = (1 - y)/(x^2)
dy/(1 - y) = dx/x^2
-integral(dy/(1 - y)) = integral(dx/x^2)
-ln|1 - y| = -1/x + C
|1 - y| = e^(-1/x + C) = e^C / e^(1/x) = Ce^(-1/x)
1 - y = Ce^(-1/x)
y = 1 - Ce^(-1/x)

4) Уравнение (y')^2 + 2yy'' = 0 можно решить с помощью метода интегрирования по частям.

Пусть y' = p, тогда y'' = p'
(p)^2 + 2yp' = 0
p(dp/dy) + 2yp' = 0
pdp + 2ydp = 0
integral(pdp) + integral(2ydp) = 0
(p^2)/2 + y^2 = C
(p^2)/2 + y^2 = C
(y')^2/2 + y^2 = C

Частное решение уравнения y'' - 4y' = 8x^3, y(0) = 2, y'(0) = -3, можно найти используя метод вариации постоянной. Решение этого уравнения будет представлено в виде суммы частного решения y_p и общего решения однородного уравнения y_h.