Задачи по геометрии
Если можно, желательно с рисунком 1.В треугольнике АВС точка M - середина стороны АВ, точек N - середина стороны АС, отрезки СМ и BN пересекаются в точке О, BA=a, BC = b. Выразите вектор BO через вектор a и b.

2. Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1, AB = a , AD = b, AA1 = c. Разложите вектор AM по векторам a,b и c, если М - точка пересечения диагоналей DC1 и D1C.

3. Дан треугольник АВС, в котором точки К, L и М - середины сторон BC, AC и AB. Докажите, что для любой точки D пространства выполняется равенство DK+DL+DM=DA+DB+DC

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Посмотрите на изображение: C
/ \
/ \
/ O \
N/-------\M
/ | \
/ | \
/_____ A _____\
\ | /
\ | /
\ | /
\ B | /
\ | /
\ |/
\/

Пусть векторы a и b направлены от точки А (начала вектора) к точкам B и C соответственно. Тогда вектор BO будет равен 1/3(a+b), так как точка О является точкой пересечения медиан треугольника ABC.

Посмотрите на изображение: D1 ______C1
/| /|
/ | / |
/ | / |
/___|___/ |
A | B A1
| | / |
| | / |
| |/ |
| D|_______| C
| / /
|/_________/
D B1

Поскольку точка M является серединой диагонали DC1, вектор AM будет равен 1/2(DC1), то есть 1/2(b+c). Таким образом, разложение вектора AM по векторам a, b и c будет равно 1/2(b+c) + b/2 + c/2.

Посмотрите на изображение: C
/ \
/ \
/ L \
K /-------\ M
\ /
\ D /
\ /
\ /
A

Так как точки K, L и M являются серединами сторон треугольника ABC, то отрезки DK, DL и DM также разделены пополам. Таким образом, сумма этих отрезков равна полусумме сумм длин всех сторон треугольника ABC, то есть DK + DL + DM = DA + DB + DC.