Две взаимно перпендикулярные хорды окружности `AB` и `CD` пересекаются в точке `M`... Две взаимно перпендикулярные хорды окружности `AB` и `CD` пересекаются в точке `M`. Известно, что `AD=6`, `BC=8` и центр окружности отстоит от точки `M` на расстоянии `1`. Найти: a) радиус окружности; б) длины хорд `AB` и `CD`.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Пусть O - центр окружности, OM = 1, OP = r - радиус окружности, где P - середина хорды AB. Так как AB и CD взаимно перпендикулярные, то OP и OM будут перпендикулярными, так что OPM - прямоугольный треугольник.

Тогда, применив теорему Пифагора в треугольнике OPM, получаем:

r^2 = OM^2 + PM^2 = 1 + (AD/2)^2 = 1 + 3^2 = 10

Отсюда r = sqrt(10).

б) Так как P - середина хорды AB, то 2*OP = AB = 2*sqrt(10) = 2 *sqrt(10).

Аналогично, так как M - середина хорды CD, то 2*OM = CD = 2.

Итак, длины хорд AB и CD равны 2*sqrt(10) и 2 соответственно.