Радиус конуса 2, образующая наклонена к основанию под углом 30 градусов. Найти объем и полную площадь

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем высоту конуса, проекция которой на основание составляет радиус.

Из условия наклона образующей к основанию под углом 30 градусов видим, что высота конуса равна ( 2 \cdot \sin{30^\circ} = 1 ).

Теперь можем найти объем конуса по формуле:

[ V = \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot \pi \cdot 2^2 \cdot 1 = \dfrac{4}{3} \pi ]

Полная площадь поверхности конуса состоит из площади основания и площади боковой поверхности.

Площадь основания: ( S_{\text{осн}} = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot 2^2 = 4 \pi )

Площадь боковой поверхности: ( S_{\text{бок}} = \pi \cdot r \cdot l ), где ( l ) - длина образующей.

Используем теорему Пифагора для треугольника, образованного радиусом, образующей и высотой конуса:

[ l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5} ]

Теперь можем найти площадь боковой поверхности:

[ S_{\text{бок}} = \pi \cdot 2 \cdot \sqrt{5} \approx 17,67 ]

Таким образом, полная площадь поверхности конуса:

[ S = S{\text{осн}} + S{\text{бок}} = 4 \pi + \pi \cdot 2 \cdot \sqrt{5} \approx 21,67 ]