Признаки подобия треугольников В треугольнике ABC через точку E, которая делит сторону AC в отношении 7:4, считая от вершины A , проведены прямые, параллельные AB и BC . Прямая, параллельная AB, пересекает BC в точке P, а параллельная BC пересекает AB в точке K. Известно, что AB=66.


Найдите длину отрезка AK


Найдите длину отрезка PE


Найдите отношение BP:PC Ответ выразите в виде конечной десятичной дроби.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Из условия известно, что точка E делит сторону AC в отношении 7:4, значит AE:EC = 7:4. Обозначим длину AC как x, тогда AE = 7x/(7+4) = 7x/11, EC = 4x/(7+4) = 4x/11.

Так как прямая, проходящая через точку E параллельно AB, пересекает BC в точке P, то треугольники ABC и APC подобны. То есть AP/AB = PC/AC. Подставляем значения: AP/66 = PC/x, откуда AP = 66(PC/x).

Аналогично, из подобия треугольников AKE и ABC получаем: AK/AB = EK/AC. Подставляем значения: AK/66 = EK/x, откуда AK = 66(EK/x).

Теперь найдем длину отрезка AK. Так как AE:EC = 7:4, то AE = (7/11)x, EC = (4/11)x. Также EK = 7, так как EK = AE - AK = AE - (66(EK/x)). Подставляем значения: 7 = (7/11)x - (66(7/x)), откуда x = 77/3.

Теперь можем найти длину отрезков AK и PE: AK = 66(EK/x) = 66(7/(77/3)) = 18, PE = 66(7/11) = 42.

Наконец, найдем отношение BP:PC. Поскольку AP = 66(PC/x), то BP = PC - PB = PC - 66(PC/x) = 66(PC(1 - 1/x)). Найдем отношение BP:PC: BP/PC = 66(PC(1 - 1/x)):PC = 66(1 - 1/(77/3)) = 66(1 - 3/77) = 66(74/77) = 64.3116883117.

Итак,
AK = 18,
PE = 42,
BP:PC = 64.3116883117.