Для доказательства этого утверждения воспользуемся определением производной.

По определению производной функции f(x) = ln(x) имеем:

(f(x))' = lim(h->0) [f(x + h) - f(x)] / h

Заменим f(x) на ln(x) и подставим в формулу:

(ln(x))' = lim(h->0) [ln(x + h) - ln(x)] / h

Преобразуем выражение внутри предела, используя свойство логарифма ln(x) - ln(y) = ln(x/y):

(ln(x + h) - ln(x)) / h = ln((x + h) / x) / h = ln(1 + h/x) / h

Применяем свойство логарифма ln(1 + a) = a при |a| < 1:

ln(1 + h/x) / h = h/x / h = 1 / x

Таким образом, получаем, что производная ln(x) равна 1/x:

(ln(x))' = 1/x

Подставляем вместо x значение z:

(ln(z))' = 1/z

Таким образом, доказано, что производная функции ln(z) равна 1/z.