В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Найдите периметр треугольника АОВ, если < CAD = 30°, CD = 10 см.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала, найдем длину диагонали AC с помощью теоремы косинусов:

AC^2 = AD^2 + DC^2 - 2ADDCcos(30°)
AC^2 = AD^2 + 100 - 10AD*sqrt(3)/2

Также, поскольку ABCD - прямоугольник, то AD = BC, AC = BD. Следовательно:

AC^2 = AD^2 + DC^2 = AD^2 + 100
AC^2 = AD^2 + 100 = AD^2 + AD^2 - 10ADsqrt(3)/2

Из этого следует, что:

2AD^2 - 10ADsqrt(3)/2 - 100 = 0
AD^2 - 5ADsqrt(3)/2 - 50 = 0
AD(AD - 5*sqrt(3)/2) - 50 = 0

После решения этого квадратного уравнения найдем AD = 10 см и AC = BD = 10*sqrt(3) см.

Теперь найдем периметр треугольника AOV. Треугольник AOV - равнобедренный, поэтому его периметр равен:

P = AO + OV + AV
P = AD + AD + АС
P = 210 + 10sqrt(3) = 20 + 10*sqrt(3) см

Ответ: Периметр треугольника АОV равен 20 + 10*sqrt(3) см.