Вопрос по геометрии Дана окружность с центром в точке О и радиусом 6. На хорде АВ взята точка М. Через точки А, О и М проведена вторая окружность, пересекающая первую в точке С. Найдите BM, если AC=4√5, а ВС=4.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи обратимся к свойству окружности: угол, составленный хордой и касательной, равен половине центрального угла, опирающегося на эту хорду.

Обозначим точки пересечения второй окружности с хордой AC за D и B.

Так как угол BOC – центральный, а угол BDC – угловой, причём угловой угол равен половине центрального (угла BOC), угол BDC будет равен 90 градусов. Таким образом, треугольник BDC будет прямоугольным.

Из равенства углов в равнобедренном треугольнике (так как OA = OC) следует, что угол OAC равен углу OCA. Пусть это угол равен α. Аналогично, угол BDA равен углу CDB и также равен α. Так как BDC – прямоугольный и сумма углов треугольника равна 180 градусов, угол в вершине D также равен α.

Теперь рассмотрим треугольник DMC. Он равнобедренный (MD = MC), поэтому угол DMC/2 = α. Следовательно, угол BCA = 2α.

Теперь, когда мы знаем угол BCA, можем найти длину BM:

В равнобедренном треугольнике BCA катеты равны, поэтому угол ABC = (180 - угол BCA) / 2 = (180 - 2α) / 2 = 90 - α.
Теперь, когда мы знаем, что угол ABC = угол ABM = 90 - α, треугольники ABM и BMC подобны, поэтому BM / AM = MC / BC.
Подставим известные значения и найдем BM: BM / 6 = 4 / 4√5 => BM = 4√6 = 8.