Математика. Нужна помощь. Даны вершины А(5; 3), В(-11; -9), С(-4; 15) треугольника АВС. Требуется найти:


а) уравнение стороны АС;

б) длину высоты, проведенной из вершины А;

в) величину угла В (в радианах).

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

а) Для нахождения уравнения стороны АС воспользуемся формулой для уравнения прямой, проходящей через две точки. Учитывая, что сторона АС проходит через точки А(5; 3) и С(-4; 15), получаем:

Уравнение прямой: y = kx + b

где k = (y2 - y1) / (x2 - x1) и b - свободный член.

k = (15 - 3) / (-4 - 5) = 12 / -9 = -4/3

Подставляем одну из точек (например, точку А(5; 3)):

3 = (-4/3)*5 + b
3 = -20/3 + b
b = 3 + 20/3
b = 29/3

Таким образом, уравнение стороны АС будет: y = -4/3x + 29/3.

б) Для нахождения длины высоты, проведенной из вершины А, используем формулу для расстояния между точкой и прямой. Прямая, содержащая сторону АС, имеет уравнение y = -4/3x + 29/3. Следовательно, уравнение прямой, перпендикулярной к АС и проходящей через точку А(5; 3), будет y = 3x + c.

Используем условие перпендикулярности: (-4/3)*(3) = -1. Таким образом, коэффициент наклона перпендикулярной прямой равен 3.

Теперь подставляем точку А(5; 3) в уравнение перпендикулярной прямой:

3 = 3*5 + c
3 = 15 + c
c = 3 - 15
c = -12

Таким образом, уравнение перпендикулярной прямой будет y = 3x - 12.

Далее, находим точку пересечения перпендикулярной прямой и стороны АС:

3x - 12 = -4/3x + 29/3
3x + 4/3x = 29/3 + 12
9x + 4x = 87
13x = 87
x = 87 / 13
x = 6.69

Подставляем найденное значение x обратно в уравнение перпендикулярной прямой:

y = 3*6.69 - 12
y = 20.07 - 12
y = 8.07

Теперь находим расстояние между точкой А(5; 3) и точкой пересечения (6.69; 8.07):

d = √((6.69 - 5)^2 + (8.07 - 3)^2)
d = √((1.69)^2 + (5.07)^2)
d = √(2.8561 + 25.7049)
d = √28.561
d ≈ 5.34

Ответ: длина высоты, проведенной из вершины А, составляет примерно 5.34.

в) Для нахождения величины угла В (в радианах) воспользуемся теоремой косинусов:

cos(B) = (a^2 + c^2 - b^2) / 2ac

где a, b, c - длины сторон треугольника, противолежащие углам A, B, C соответственно.

Длины сторон треугольника:
AB = √((5 - (-11))^2 + (3 - (-9))^2) = √(16^2 + 12^2) = √(256 + 144) = √400 = 20
BC = √((-11 - (-4))^2 + (-9 - 15)^2) = √(7^2 + 24^2) = √(49 + 576) = √625 = 25
AC = √((5 - (-4))^2 + (3 - 15)^2) = √(9^2 + 12^2) = √(81 + 144) = √225 = 15

Подставляем найденные значения в формулу для косинуса угла B:

cos(B) = (20^2 + 15^2 - 25^2) / (2 20 15)
cos(B) = (400 + 225 - 625) / 600
cos(B) = 0 / 600
cos(B) = 0

Из этого следует, что угол В равен 90 градусов или π/2 радиан.

Ответ: угол B равен π/2 радиан.