Докажите что 3^n больше n^3 для любого натурального n,при n не равно 3

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Докажем это утверждение по индукции.

База:
При n = 1: 3^1 = 3, 1^3 = 1. Очевидно, что 3 > 1.

Шаг индукции:
Предположим, что для некоторого натурального k>1 выполняется неравенство 3^k > k^3.

Докажем, что это неравенство также выполняется для k+1:

3^(k+1) = 3 3^k > 3 k^3 (по предположению индукции, так как 3^k > k^3)
3 * k^3 = k^3 + k^3 + k^3 > k^3 + k^3 + k (так как k^3 > k по условию)
k^3 + k^3 + k > k^3 + 3k > k^3 + 3 (так как k > 1)
k^3 + 3 > (k+1)^3 = k^3 + 3k^2 + 3k + 1
Итак, получаем, что 3^(k+1) > (k+1)^3.

Таким образом, по принципу математической индукции доказано, что 3^n > n^3 для любого натурального n, при n не равном 3.