Докажите, что касательные, проведённые через концы хорды, не являющейся диаметром окружности, пересекаются. не используйте гдз, там неправильно)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Доказательство:

Пусть у нас есть окружность с центром O и диаметром AB, и проведена произвольная хорда CD, не являющаяся диаметром. Проведем касательные к окружности через точки C и D, обозначим их как CE и DF соответственно.

Так как AB - диаметр окружности, то угол ACB является прямым углом. Тогда угол CEB также является прямым, так как CE - касательная к окружности. Аналогично, угол DFB является прямым углом.

Теперь заметим, что угол ACB и угол AOB опираются на одну и ту же дугу AB. Так как угол ACB прямой, то угол AOB тоже прямой, и значит, CD проходит через центр окружности.

Из этого следует, что CE и DF - это радиусы окружности, и они равны. Значит, треугольник CEF равнобедренный, так как CE = CF. Аналогично, треугольник DFB равнобедренный, так как DF = DB.

Таким образом, мы доказали, что касательные CE и DF, проведенные через концы хорды CD, пересекаются.