На стороне 𝐵𝐶 ромба 𝐴𝐵𝐶𝐷 выбрана точка 𝐾 так, что 𝐴𝐾=𝐵𝐷. Оказалось, что ∠𝐾𝐴𝐷=3∠𝐵𝐷𝐾. Найдите угол 𝐴𝐵𝐶

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть угол между диагоналями ромба равен x градусов. Тогда угол между стороной и диагональю равен 90 градусов, так как это свойство ромба.

Также, у нас дано, что ∠KAD = 3∠BDK. Но угол между диагоналями ромба равен x градусов, поэтому угол KAD = x + 90 градусов. С другой стороны, угол BDK равен x/3 градусов. Тогда угол ABK равен (180 - (90 + x) - (x/3)) градусов.

Следовательно, угол ABC равен 90 - (180 - (90 + x) - (x/3)) = 90 + x/3 градусов.

Имея угол между диагоналями, можно приступить к расчетам. Введем угол между стороной и диагональю ромба - он равен 90 градусам. Узнаем, что угол ABD равен x градусов, BDK равен x/3 градусов, а BAD равен 2x/3 градусов.

Однако, у нас есть точка K, которая делит сторону на отрезки AK и BK соответственно в пропорциях 1:2. Так как буквы C и D меняются местами, у нас есть равные треугольники △ABD и △KAD, и можно записать соотношение:

BD / AD = AD / AK
1 / 2 = 2 / AK
AK = 4

Значит, AK = KD = 4. По теореме косинусов в △KAD, найдем x:

4^2 + 4^2 - 2 4 4 * cos(2x/3) = 4^2
32 - 32cos(2x/3) = 0
cos(2x/3) = 1
2x / 3 = 0
x = 0

Итак, угол 𝐴𝐵𝐶 равен 90 + 0/3 = 90 градусов.