Система двух уравнений с тремя переменными Решите в положительных числах
a^3 + b^3 + c^3 = a + b + c
a^2 + b^2 + c^2 = abc

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Данная система уравнений не имеет решений в положительных числах.

Предположим, что такие положительные числа a, b и c существуют.

Из первого уравнения:
a^3 + b^3 + c^3 = a + b + c

Известно, что неравенство арифметическое и геометрическое средние x и y:
(x + y)/2 ≥ √(xy),

то есть (x + y + z)/3 ≥ ∛(xyz).

Применим это к первому уравнению:

(a^3 + b^3 + c^3)/3 ≥ ∛(a^3 b^3 c^3)
(a + b + c)/3 ≥ abc

Из второго уравнения:
a^2 + b^2 + c^2 = abc

Таким образом, у нас имеется неравенство:

(a^2 + b^2 + c^2)/3 ≥ √(a^2 b^2 c^2)
abc/3 ≥ abc

Теперь объединим два неравенства:

(a + b + c)/3 ≥ abc
abc/3 ≥ abc

Следовательно, abc ≤ a + b + c.

Это противоречит первому уравнению (a^3 + b^3 + c^3 = a + b + c), поэтому таких решений в положительных числах не существует.