В окружность вписана трапеция АВСD с основаниями АВ и CD, периметр которой равен 3, средняя линия MN равна 1. Найдите боковую сторону АD трапеции АВСD.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим длину сторон трапеции как AB = a, BC = b, CD = c, DA = d.

Так как трапеция вписана в окружность, то сумма противоположных сторон трапеции равна длине диаметра окружности.

Из условия, периметр трапеции равен 3, получаем: a + b + c + d = 3.

Также из свойств вписанного угла следует, что сумма противоположных углов трапеции равна 180 градусам. Обозначим углы трапеции как A, B, C, D.

Так как MN - средняя линия трапеции, то она равна половине суммы оснований: MN = (AB + CD) / 2 = (a + c) / 2 = 1.

Из условия, что трапеция вписана в окружность, следует, что сумма углов треугольника ABC равна 180 градусам.

Углы треугольника ABC равны: A, 180-(C+B), 180-(C+B). Откуда, A = 180 - (C+B) - B = 180 - 2B - C.

Учитывая, что в треугольнике ABC сумма углов равна 180 градусам, получаем:

A + B + C = 180,
D + C + B = 180.

Суммируя их, учитывая что (C + B) = (180 - (A + D)), получаем:

180 - 2B - C + D + C + B + 180 = 360,
180 - 2B + D + 180 = 360,
D - 2B = 0,
D = 2B.

Таким образом, угол D равен углу B, откуда следует, что стороны трапеции AD и BC равны и обозначим их как x: AD = x, BC = x.

Тогда имеем: a = x, d = 2x, b = c = y.

Из уравнения a + b + c + d = 3 имеем x + 2y = 3. Так как сумма всех сторон трапеции равна периметру треугольника, AB + BC + CD + DA = x + 3y = 3.

Следовательно, y = 1-x.

Подставив это в уравнение x + 2y = 3, получаем:

x + 2(1-x) = 3,
x + 2 - 2x = 3,
-x + 2 = 3,
x = -1.

Следовательно, сторона трапеции AD равна 1, что и требовалось найти.