Задание по геометрии В треугольнике АВС на его медиане ВМ отмечена точка К так, что ВК : КМ=4 : 1.
Прямая АК пересекает сторону ВС в точке Р. Найдите отношение площади

четырёхугольника КРСМ к площади треугольника ВКР.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку ВК : КМ=4 : 1, то можно сказать, что ВК составляет 4/5 от медианы ВМ, а КМ составляет 1/5 от медианы. Таким образом, КМ=1/5BM и ВК=4/5BM.

Так как точка К делит медиану ВМ в отношении 4:1, то и сегмент, который К делит сторону АВ, тоже делит в отношении 4:1. Таким образом, AR:RC=4:1.

Определим теперь площадь четырехугольника КРСМ. Мы видим, что треугольник КРВ подобен треугольнику МКС как общему для обоих треугольников. Таким образом, отношение сторон треугольников КРВ и МКС равно отношению сторон медиан треугольников, то есть отношению 4:1. Значит, площадь треугольника КРВ равна 4/5 от площади треугольника МКС.

Теперь выразим отношение площади четырехугольника КРСМ к площади треугольника ВКР:
S(КРСМ) = 4/5 * S(МКС)
S(ВКР) = S(МКС) - S(КРВ)

Отсюда получаем, что отношение площади четырехугольника КРСМ к площади треугольника ВКР равно:
(4/5 * S(МКС)) / (S(МКС) - S(КРВ)) = (4/5) / (1/5) = 4:1.