Найдите точку минимума функции y = (x^2 - 31x + 31) * e^(15-x)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения точки минимума функции необходимо продифференцировать функцию по переменной x и найти её наименьшее значение.

Сначала продифференцируем функцию y = (x^2 - 31x + 31) e^(15-x) по переменной x:
dy/dx = (2x - 31) e^(15-x) + (x^2 - 31x + 31) (-e^(15-x))
dy/dx = e^(15-x) (2x - 31 - x^2 + 31x - 31)
dy/dx = e^(15-x) * (-x^2 + 33x - 62)

Затем найдем точку, где производная равна нулю:
-e^(15-x) * (-x^2 + 33x - 62) = 0

-x^2 + 33x - 62 = 0
x^2 - 33x + 62 = 0

Решим уравнение:
D = 33^2 - 4162 = 1089 - 248 = 841
x1 = (33 + sqrt(841))/2 = (33 + 29)/2 = 31
x2 = (33 - sqrt(841))/2 = (33 - 29)/2 = 2

Таким образом, у нас две точки экстремума x1 = 31 и x2 = 2. Для нахождения точки минимума выполним вторую производную:

d^2y/dx^2 = e^(15-x) (-2x + 33) - e^(15-x) (-x^2 + 33x - 62)
d^2y/dx^2 = e^(15-x) (31 - x) - e^(15-x) (-x^2 + 33x - 62)
d^2y/dx^2 = e^(15-x) (93 - x - x^2 + 33x - 62)
d^2y/dx^2 = e^(15-x) (-x^2 + 32x + 31)

Для точки x1 = 31:
d^2y/dx^2(31) = e^(15-31) (-31^2 + 3231 + 31)
d^2y/dx^2(31) = e^(-16) (-961 + 992 + 31)
d^2y/dx^2(31) = e^(-16) 62

Для точки x2 = 2:
d^2y/dx^2(2) = e^(15-2) (-2^2 + 322 + 31)
d^2y/dx^2(2) = e^13 (-4 + 64 + 31)
d^2y/dx^2(2) = e^13 91

Так как d^2y/dx^2(31) = e^(-16) 62 > 0 и d^2y/dx^2(2) = e^13 91 > 0, то точка x1 = 31 является точкой минимума функции y = (x^2 - 31x + 31) * e^(15-x).

Таким образом, точка минимума функции y = (x^2 - 31x + 31) * e^(15-x) имеет координаты (31, y(31)).