Вычислить предел lim x стремиться к 0 (sinx/x)^(1/x^2)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для вычисления этого предела мы можем воспользоваться свойствами экспоненты и натурального логарифма.

Представим функцию в виде exp[ln((sinx/x)^(1/x^2))] = exp[(1/x^2)ln(sinx/x)].

Теперь применим теорему о предельном переходе под знаком логарифма, когда предел функции равен логарифму предела функции:

ln(L) = lim x -> 0 [(1/x^2)ln(sinx/x)].

Вынесем константу из-под знака предела и преобразуем выражение:

ln(L) = lim x -> 0 [ln(sinx/x) / x^2] = lim x -> 0 [ln(sinx/x) / x] / x = lim x -> 0 [ln(sinx/x) / x].

Теперь применим правило Лопиталя для нахождения предела отношения производной числителя к производной знаменателя:

ln(L) = lim x -> 0 [(cosx x - sinx) / x sinx] = lim x -> 0 [cosx - sinx / sinx] = lim x -> 0 [(1 - tanx) / tanx].

Последний предел равен 1, соответственно, предел ln(L) равен 1.

Получаем: L = exp(1) = e.

Итак, предел (sinx/x)^(1/x^2) при x стремящемся к 0 равен e.