Найдите сумму наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения cos 3x = cos x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем корни данного уравнения. Перепишем уравнение в виде:

cos 3x - cos x = 0

По формуле разности косинусов имеем:

cos 3x - cos x = -2 sin((3x + x) / 2) sin((3x - x) / 2) = -2 sin(2x) sin x = 0

Таким образом, с учетом того, что sin x ≠ 0, у нас есть два случая:

1) sin(2x) = 0:
2x = kπ, где k - целое число

2) sin x = 0:
x = nπ, где n - целое число

Теперь найдем корни косинусов:

1) x = kπ/2, где k - целое число
2) x = nπ, где n - целое число

Подставим корни в исходное уравнение cos 3x = cos x и найдем наименьший положительный и наибольший отрицательный корни. Проверяем значения косинуса в точках kπ/2 и nπ, и находим корни:

cos 1.5π = -1 (отрицательное значение косинуса)
cos 0 = 1 (положительное значение косинуса)

Сумма найденных корней равна:

-1 + 1 = 0

Значит, сумма наименьшего положительного и наибольшего отрицательного корней уравнения cos 3x = cos x равна 0.