Плоскости и прямые в пространстве В прямоугольной системе координат 0xyz заданы координаты вершин A(1,−2,0),B(−3,0,−4),B(0,2,−3) треугольной пирамиды OABC. Требуется:
2) Найти расстояние d от вершины O до плоскости (ABC)
3) Составить общее уравнение плоскости (OAB)
4) Найти угол между плоскостями (ABC) и (OAB)
5) Составить уравнение плоскости, проходящей через точку O и параллельной плоскости (ABC)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

2) Для нахождения расстояния от вершины O до плоскости (ABC) можно воспользоваться следующей формулой:
d = |(Ax - Ox) n_x + (Ay - Oy) n_y + (Az - Oz) * n_z| / sqrt(n_x^2 + n_y^2 + n_z^2),
где (Ax, Ay, Az) - координаты вершины A, (Ox, Oy, Oz) - координаты вершины O, (n_x, n_y, n_z) - координаты вектора нормали к плоскости (ABC).

Вычислим координаты вектора нормали к плоскости (ABC):
n_x = (B.y - A.y) (C.z - A.z) - (B.z - A.z) (C.y - A.y) = (0 - (-2)) (-4 - 0) - (-4 - 0) (-3 - (-2)) = 2 (-4) - (-4) (-1) = -8 + 4 = -4,
n_y = (B.z - A.z) (C.x - A.x) - (B.x - A.x) (C.z - A.z) = (-4 - 0) (0 - 1) - (-3 - 1) (-4 - 0) = -4 (-1) - (-4) (-3) = 4 + 12 = 16,
n_z = (B.x - A.x) (C.y - A.y) - (B.y - A.y) (C.x - A.x) = (-3 - 1) (2 - (-2)) - (0 - (-2)) (-3 - 1) = (-4) 4 - 2 (-4) = -16 + 8 = -8.

Подставим найденные значения в формулу и получим:
d = |(1 - 0) (-4) + ((-2) - 0) 16 + (0 - 0) * (-8)| / sqrt((-4)^2 + 16^2 + (-8)^2) = |(-4) + (-32) + 0| / sqrt(16 + 256 + 64) = 36 / sqrt(336) ≈ 1.95.

Ответ: расстояние d от вершины O до плоскости (ABC) примерно равно 1.95.

3) Общее уравнение плоскости (OAB) задается как Ax + By + Cz + D = 0, где (A, B, C) - координаты вектора нормали к плоскости, а D = -AOx - BOy - C*Oz.

Для плоскости (OAB) вектор нормали будет равен векторному произведению векторов OA и OB:
(A, B, C) = OA x OB = ((0 - 1), (2 - (-2)), (-3 - 0)) = (-1, 4, -3).

Теперь найдем коэффициент D:
D = -(-1)0 - 40 - (-3)*0 = 0.

Таким образом, уравнение плоскости (OAB) имеет вид -x + 4y - 3z = 0.

4) Угол между плоскостями (ABC) и (OAB) можно найти по формуле cos(α) = (n1 n2) / (|n1| |n2|), где n1 и n2 - векторы нормали к плоскостям.

Для плоскости (ABC) нормальный вектор был найден ранее: n1 = (-4, 16, -8).
Для плоскости (OAB) нормальный вектор: n2 = (-1, 4, -3).

Тогда cos(α) = (-4 -1 + 16 4 + (-8) (-3)) / (sqrt((-4)^2 + 16^2 + (-8)^2) sqrt((-1)^2 + 4^2 + (-3)^2)) = (4 + 64 + 24) / (sqrt(336) sqrt(26)) = 92 / (18.33 5.1) ≈ 0.88.

Угол α ≈ arccos(0.88) ≈ 29.76 градусов.

5) Плоскость, проходящая через точку O и параллельная плоскости (ABC), будет иметь уравнение вида Ax + By + Cz + D = 0, где (A, B, C) - координаты вектора нормали к плоскости (ABC), а D = -AOx - BOy - C*Oz.

Учитывая, что нормальный вектор плоскости (ABC) равен (-4, 16, -8), получаем уравнение плоскости:
-4x + 16y - 8z + D = 0.

Для нахождения коэффициента D:
D = -(-4)0 - 160 - (-8)*0 = 0.

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку O и параллельной плоскости (ABC), имеет вид -4x + 16y - 8z = 0.