Аналитическая геометрия. По заданным точкам А, B, C и D составить уравнение прямой AB и плоскости BCD, вычислить угол между ними и найти расстояние от точки А до плоскости BCD. A(0,0,0)B(2,0,0)C(0,2,0)D(1,-1,1)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Уравнение прямой AB:
AB: x = 0 + 2t, y = 0 + 0t, z = 0 + 0t
AB: x = 2t, y = 0, z = 0

Уравнение плоскости BCD:
Векторы BC = (-2,2,0) и BD = (1,-1,1), нормаль к плоскости:
n = BC x BD = (2,2,2)
Уравнение плоскости:
2x + 2y + 2z + D = 0, подставляем точку B(2,0,0):
22 + 20 + 2*0 + D = 0
D = -4
Уравнение плоскости: 2x + 2y + 2z - 4 = 0

Угол между прямой и плоскостью вычисляется как угол между направляющим вектором прямой и нормалью плоскости:
cos(угол) = |AB n| / |AB||n|
|AB| = sqrt(2^2 + 0 + 0) = 2
|n| = sqrt(2^2 + 2^2 + 2^2) = 2sqrt(3)
|AB n| = |(2,0,0)(2,2,2)| = |4 + 0 + 0| = 4
cos(угол) = 4 / (2 * 2sqrt(3)) = 1 / sqrt(3) => угол = arccos(1/sqrt(3)) = pi/6 радиан = 30 градусов

Расстояние от точки A до плоскости BCD:
d = |ax0 + by0 + cz0 + d| / sqrt(a^2 + b^2 + c^2)
d = |20 + 20 + 2*0 - 4| / sqrt(2^2 + 2^2 + 2^2) = 4 / 2sqrt(3) = 2 / sqrt(3) = 2sqrt(3) / 3 ≈ 1.15