Можете доказать неравенство между AM - GM для n чисел ?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Да, конечно. Неравенство между арифметическим и геометрическим средним для n чисел можно доказать следующим образом:

Пусть у нас есть n чисел x1, x2, ..., xn.

AM (среднее арифметическое) этих чисел равно:
AM = (x1 + x2 + ... + xn) / n

GM (среднее геометрическое) этих чисел равно:
GM = (x1 x2 ... * xn) ^ (1/n)

Теперь возьмем логарифм обеих сторон GM и воспользуемся неравенством Йенсена, которое гласит, что для вогнутой функции f и весов w1, w2, ..., wn, сумма которых равна 1, выполняется неравенство:

f(w1x1 + w2x2 + ... + wnxn) >= w1f(x1) + w2f(x2) + ... + wnf(xn)

В данном случае в качестве весов возьмем w1 = w2 = ... = wn = 1/n и в качестве функции f(x) возьмем логарифм.

Тогда применяя неравенство Йенсена получаем:

log(GM) = log((x1 x2 ... xn) ^ (1/n)) = (1/n) log(x1 x2 ... xn) >= (1/n) (log(x1) + log(x2) + ... + log(xn))

Умножим обе части неравенства на n:

log(GM) >= log(x1) + log(x2) + ... + log(xn)

Теперь возведем обе стороны неравенства в экспоненту:

GM >= exp(log(x1) + log(x2) + ... + log(xn))

С учетом свойств логарифма:

GM >= x1 x2 ... * xn

А теперь посмотрим на AM, запишем его в представлении суммы:

AM = (x1 + x2 + ... + xn) / n = 1/n * (x1 + x2 + ... + xn)

По неравенству Коши-Буняковского:

(x1 + x2 + ... + xn)(1 + 1 + ... + 1) >= (sqrt(x1) + sqrt(x2) + ... + sqrt(xn))^2

Отсюда следует:

AM >= sqrt(x1 x2 ... * xn)

Теперь вспомним, что по свойствам корня и экспоненты выполняется следующее:

sqrt(a1 a2 ... * an) <= (a1 + a2 + ... + an) / n

Таким образом, AM >= GM для n чисел x1, x2, ..., xn.

Таким образом, мы доказали неравенство между арифметическим и геометрическим средним для n чисел.