Ира хочет найти такие целые x, y, z > 1, чтобы выполнялось
Условие:

2022! = 2x+3y+5z

Докажите, что у нее это не получится.

(Напомним, что символом n! Обозначается произведение всех натуральных чисел от 1 до n включительно.)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Посмотрим на остатки от деления 2022! на 2, 3 и 5:

2022! делится на 2, так как содержит все четные числа от 2 до 2022. 2022! делится на 3, так как содержит все числа от 3 до 2022, которые делятся на 3.2022! делится на 5, так как содержит все числа от 5 до 2020, которые делятся на 5, а также число 2020.

Таким образом, 2022! делится на 2, 3 и 5. Следовательно, 2x + 3y + 5z также будет делиться на 2, 3 и 5. Однако, число 2022! делится на 2, 3 и 5 лишь в единственном случае - когда все степени чисел 2, 3 и 5 равны или превосходят x, y и z соответственно.

Так как x, y, z > 1, то как минимум одна из степеней 2, 3 или 5 будет меньше, чем каждое из x, y, z. Следовательно, таких целых x, y, z, для которых верно условие 2x + 3y + 5z = 2022! не существует. Таким образом, Ире не удастся найти такие целые x, y, z, удовлетворяющие данное условие.