Произведение положительных чисел a
? и ?
равно
Известно, что
(3a+2b)(3b+2a)=487.
Найдите a+b. Произведение положительных чисел a
? и ?
равно
Известно, что
(3a+2b)(3b+2a)=487.
Найдите a+b.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала выразим a и b через их произведение и сумму:
ab = x
a+b = y
Тогда a = y - b
Подставим это в уравнение (3a+2b)(3b+2a)=487:
(3(y-b)+2b)(3b+2(y-b))=487
(3y-3b+2b)(3b+2y-2b)=487
(3y-b)(3b+2y)=487
9by + 6y^2 - 3b^2 - 2by = 487
6y^2 + (9b-2b)y -3b^2 = 487
6y^2 + 7by -3b^2 = 487
Так как ab=x, , то b = x/a.
Подставим это в уравнение:
6y^2 + 7x - (3x^2) / a = 487
6y^2a + 7xa - 3x^2 = 487a
6ya^2 + 7ax - 3x^2 = 487a
(6y-3x)(ya+x) = 487a
Поскольку a и b положительные, то x должно быть положительным. Также a + b очевидно должно быть больше x, так как x = ab = a + b, иначе a, b <= 1, что нарушает условие. Тогда смотрим делители 487.
487 = 487 1 = -487 -1
Тогда одно из изначальных чисел 1 и 487, а другое 242 и 487. Первый вариант отсекаем потому, что сумма 1 с 487 >= 487, что противоречит условию. Значит наше произведение 242 и 487, и a = 242, b = 487. Тогда a + b = 729.